Линейные и квадратичные
неравенства. Решение рациональных неравенств
• Неравенство вида
называется линейным неравенством. Его решение и графическая иллюстрация приведены
на рис. ниже.
Выпишите самостоятельно
решения линейного неравенства при других знаках неравенства.
Решите следующие неравенства и системы линейных неравенств (1—14):
Задание 1.
Ответ:
Задание 2.
Ответ:
Задание 3.
Ответ:
Задание 4.
Ответ:
Задание 5.
(х + 2)2 + 8х2< (Зх -1)2 - 12
Ответ:
Задание 6.
Ответ:
Задание 7.
Ответ:
Задание 8.
Ответ:
(2; 10]
Задание 9.
Ответ:
При
при
Задание 10.
Решение. Переписав систему в виде
заключаем, что она имеет решение только при выполнении неравенства
откуда а > 1.
Ответ:
при
при
Задание 11.
Ответ:
Задание 12.
|5 - 2х| > 3
Ответ:
Задание 13.
|2х - 3| < х
Указание:
Здесь х > 0.
Ответ:
(1; 3)
Задание 14.
|х - 1| > х + 2
Решение:
Если
то неравенство, очевидно,
выполнено. Если же х > -2, то х -1> х + 2 или х - 1 < -(х + 2), откуда
следует,
что
объединяя найденные решения, получаем ответ.
Ответ:
Задание 15.
Найдите все значения а, для каждого из которых числа л: и у, удовлетворяющие системе уравнений
удовлетворяют также неравенству х > у + 5а.
Ответ:
• Квадратичным неравенством называется неравенство вида
где коэффициент
Решения всех этих неравенств получаем из следующей таблицы графиков квадратного трехчлена у = ах2 + bх + с.
Напомним, что здесь D = b2 - 4ас — дискриминант квадратного трехчлена у = ах2 + bх + с. В случае, когда D > 0, корни х1 и х2 квадратного трехчлена вычисляются по формулам
Решите следующие квадратичные неравенства и системы квадратичных неравенств (16—25):
Задание 16.
Ответ:
Задание 17.
4 + Зх - х2 > 0
Ответ:
(-1; 4)
Задание 18.
Ответ:
Задание 19.
(6х - 5)(х + 1) > (х + 2)(х + 3)
Ответ:
Задание 20.
Ответ:
Задание 21.
Ответ:
Задание 22.
Ответ:
Задание 23.
Ответ:
Задание 24.
Зх4 + 7х2 - 10 < 0
Решение:
Выполнив замену х2 = t, имеем 3t2 + 7t - 10 < 0, откуда
Решив систему неравенств
получаем
Ответ:
( -1; 1)
Задание 25.
2х4 - Зх2 + 1 > 0
Ответ:
• Умение решать линейные и квадратичные неравенства является основой для решения общих рациональных неравенств методом интервалов, который состоит в следующем. Для решения неравенства
где Р(х) и Q(x) — многочлены, нанесем на числовую ось корни числителя и знаменателя
дроби. В промежутках между этими точками дробь сохраняет знак. Выбирая нужные
промежутки, получаем решение неравенства.
Методом интервалов решите следующие неравенства (26—36):
Задание 26.
Ответ:
Задание 27.
Ответ:
Задание 28.
Ответ:
Задание 29.
Ответ:
Задание 30.
Указание:
Квадратный трехчлен х2 + 2х + + 4 > 0 при всех х.
Ответ:
Задание 31.
Ответ:
Задание 32.
Ответ:
Задание 33.
Ответ:
Задание 34.
Решение:
Раскладывая числитель и знаменатель дроби на множители, приходим к неравенству
Квадратный трехчлен х2 + 2х + 4 > 0 при всех х. Таким образом,
получаем расстановку знаков, изображенную на рис.
Точки х = +2 в ответ не входят, так как это корни знаменателя дроби.
Ответ:
Задание 35.
Указание:
Воспользуйтесь тем, что х3 - 2х2 - 5х + 6 = (х + 2)(х - 1)(х - 3).
Ответ:
Задание 36.
Ответ:
Решите следующие неравенства (37—50):
Задание 37.
Ответ:
Задание 38.
Ответ:
Задание 39.
Решение:
Выполним следующие преобразования:
Ответ:
Задание 40.
Ответ:
Задание 41.
Ответ:
Задание 42.
Ответ:
Задание 43.
Ответ:
Задание 44.
Решение:
Переписав неравенство в виде
и приведя дроби к общему знаменателю, получаем неравенство
Его решение приведено на рис.
Ответ:
Задание 45.
Ответ:
Задание 46.
Решение:
Так как х3 + 1 = (х + 1)(х2 - х + 1), то, записав неравенство в виде
и приведя дроби к общему знаменателю, получаем неравенство
Множитель х2 - х + 1 > 0 при всех
Отсюда
Ответ:
Задание 47.
Ответ:
Задание 48.
Решение:
Имеем
С помощью рис.
записываем ответ.
Ответ:
Задание 49.
Ответ:
Задание 50.
Решение:
Выполним следующие преобразования:
Далее, вынося х за скобки и приводя дроби к общему знаменателю, приходим к неравенству
откуда с помощью рис.
получаем ответ:
Ответ:
Решите неравенства, которые сводятся к более простым квадратичным или рациональным неравенствам подходящей заменой переменной (51—58):
Задание 51.
Указание:
Выполните замену, полагая х2 + х + 1 = t.
Ответ:
(-2; 1)
Задание 52.
Решение:
Пусть х2 + 2х + 2 = t; тогда получим неравенство
Так как t = x2 + 2x + 2>0 при всех х, то неравенство равносильно следующему:
6(t + 1) - 6t < t(t + 1); t2 + t - 6 > 0, откуда t < -3 или t > 2.
Первое из неравенств не имеет решении, а второе приводит к неравенству х2 + 2х > 0, откуда
Ответ:
Задание 53.
x8 - 6х7 + 9х6 - х2 + 6х - 9 > 0
Указание:
х8 - 6х7 + 9х6 - х2 + 6x - 9 = (х6 - 1)(х2 -6х + 9) = (х- 3)2(х - 1)(х + 1)(х4 + х2 + 1).
Ответ:
Задание 54.
Указание:
х4 + 4х3 + 4х2 - 9 = (х2 + 2х)2 - 9.
Ответ:
Задание 55.
Указание:
Положите
Ответ:
Задание 56.
Решение:
Отметим, что х = 0 является решением данного неравенства. Если же
то перепишем его в виде
т. е.
Теперь решаем неравенства:
Решения первого неравенства:
второго:
а третьего:
Объединяя решения неравенств и добавляя точку х = 0, получаем, что
Ответ:
Задание 57.
Зх3 - 14х2 + 20х > 8
Указание:
Зх3 - 14х2 - 20х - 8 = (3х - 2)(х - 2)2.
Ответ:
Задание 58.
Решение:
Имеем
Следовательно,
Ответ:
х € (0; 1] U [2; 3]
Решите следующие неравенства, содержащие знак модуля величины (59—76).
Задание 59.
х2 - 5|х| + 6 > 0
Ответ:
Задание 60.
Решение:
Раскладывая квадратный трехчлен на множители, получаем
откуда
Ответ:
Задание 61.
|х - 1 + |х + 1| < 4
Решение:
Рассмотрим следующие случаи:
1)
2)
3)
Объединяя найденные решения, получаем решение неравенства.
Ответ:
х € (-2; 2)
Задание 62.
|1 + 2х| -|х + 2| < 2
Ответ:
Задание 63.
Решение:
Данное неравенство равносильно совокупности следующих неравенств:
Решение первого из них -
а второго
Объединяя эти решения, получаем решение исходного неравенства.
Ответ:
Задание 64.
Указание:
Неравенство равносильно системе неравенств:
Ответ:
Задание 65.
Ответ:
Задание 66.
Ответ:
Задание 67.
Решение:
Это неравенство имеет вид
что возможно только в том случае, если
(получается равенство). Таким образом, исходное неравенство равносильно следующему.
т. е.
откуда
Ответ:
Задание 68.
||х2 + 5х| - 6| > |х2 + 5х| - 6
Ответ:
Указание:
Данное неравенство равносильно неравенству |х2 + 5х| - 6 < 0.
Задание 69.
||х - 1| > |х|
Ответ:
Задание 70.
|2 - |х|| < 2|х|
Ответ:
Задание 71.
Решение:
Рассмотрим следующие случаи:
1)
2)
3)
Объединяем найденные решения и получаем решение исходного неравенства.
Ответ:
Задание 72.
Ответ:
Задание 73.
||х2 - 3х + 2| - 1 > х - 2
Ответ:
Задание 74.
|х2 -2х - 3| + 2|х- 2| < 5
Ответ:
Задание 75.
|12x2 + 33x + 32| < |4x2 + 35x + 38|
Ответ:
Задание 76.
Ответ:
Установите, при каких а следующие неравенства выполняются для всех
(77—81):
Задание 77.
x2 -2(а -1)x + а + 5 > 0
Указание:
Поскольку коэффициент при х2 положителен, нужное значение а определяется условием D < 0.
Ответ:
(-1; 4)
Задание 78.
(а2 - 1I)x2 + 2(а - 1)x + 2 > 0
Ответ:
Задание 79.
Решение:
Так как х - х2 - 1 < 0 для всех х, то исходное неравенство можно умножить на (х - х2 - 1), при этом знак неравенства изменится на противоположный:
Последнее неравенство выполняется для всех х, если
Ответ:
[-1; 7]
Задание 80.
Ответ:
(-2; 4)
Задание 81.
Ответ:
(-1; 5)
Задание 82.
Найдите все а, при которых неравенство ах2 - 4х + За + 1 > 0 выполнено для всех х > 0.
Решение:
Положим f(x) = ах2 - 4х + За + 1. Данное выражение положительно при всех х > 0 в двух случаях
Последнее неравенство второй системы означает, что абсцисса вершины параболы отрицательна. Так как в этой системе первое и четвертое неравенства несовместны, то искомые значения а удовлетворяют первой системе:
Ответ:
Задание 83.
Найдите все а, при которых неравенство х2 + ах + а2 + 6а < 0 выполнено для всех х € (1; 2).
Указание:
Для нахождения требуемых значений а достаточно решить систему
Ответ:
Задание 84.
При каких т все решения неравенства (m - 1)х2 + (m2 - 2m + 2)х +m - 1 > 0 положительны и меньше 2?
Решение:
Найдем корни уравнения
(m - 1)х2 +
(m2 - 2m + 2)х + m - 1 = 0.
Имеем
Нужные значения m удовлетворяют системе
Ответ:
Задание 85.
Найдите все а, при которых неравенство
выполнено для всех x € [1; 2].
Решение:
На плоскости хОа изобразим множество пар (х; у), для которых выполняется требуемое неравенство
Искомые значения а0 характеризуются тем, что отрезок прямой а = а0 при
полностью лежит в заштрихованной области. Это достигается при
Ответ:
Задание 86.
Найдите все а, при которых неравенство
выполнено для всех х € (-1; 1).
Решение:
Данное неравенство должно, в частности, выполняться при х = 0. В этом случае оно имеет вид
откуда
Кроме того, для
выражение х + 6 > 0.
Таким образом, при указанных ограничениях исходное неравенство имеет вид
Абсцисса вершины параболы у = х2 - ах + а2 - 6а равна
т.к.
и неравенство выполняется при всех х € (-1; 1), если оно выполняется при х = 1, т. е.
Учитывая условие ограничения
получим ответ.
Ответ:
Задание 87.
При каких а неравенство х2 + |х + а| < 2 имеет хотя бы одно положительное решение?
Решение:
На плоскости хОа изобразим множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству х2 + |х + а| < 2.
При
неравенство имеет вид а < 2 - х - х2; при х + а < 0 — вид а >х2- х - 2.В заштрихованной области точки с положительной абсциссой существуют при
Ответ:
Задание 88.
При каких а неравенство х2< 4 - |х - а| имеет хотя бы одно отрицательное решение?
Ответ:
Задание 89.
При каких а имеет единственное решение система неравенств:
Решение а).
На плоскости хОа изобразим параболы а = -х2 - 2х и
Точки, координаты которых удовлетворяют данной системе, лежат ниже параболы а = -х2 - 2х и выше параболы
Эти параболы пересекаются в точках О(0; 0) и
Заметим, что точка А расположена левее вершины первой параболы В(-1; 1). Горизонтальная прямая пересекает заштрихованную область по единственной точке, если она проходит через точки О и В, т. е. при а = 0 и а = 1.
Ответ:
{0; 1}. б) {0; -1}
Задание 90.
Найдите все а, при которых существует хотя бы одно общее решение неравенств:
Ответ:
Задание 91.
Найдите все а, при которых любое число х € R является решением хотя бы одного из неравенств:
Ответ:
Задание 92.
Найдите все а, при которых любое решение неравенства
является также решением неравенства х2 + 2х - 1 + а2 > 0.
Ответ:
Решите следующие неравенства и системы неравенств (93—104):
Задание 93.
Решение:
Умножив левую и правую части неравенства на 6 и приведя подобные члены, получаем х (а2 - 9) < а + 3. Рассмотрим следующие случаи:
1) при а < -3 выражение (а2 - 9) > 0, поэтому
2) при а = -3 получаем неравенство х • 0 < 0, которое не имеет решений;
3) при -3 < а < 3 выражение (а2 - 9) < 0 , поэтому
4) при о = 3 получаем неравенство х • 0 < 6, которое выполняется при всех
х;
5) при а > 3 имеем (а2 - 9) > 0 и, значит,
Ответ:
при
при
при
при
Задание 94.
х2 - ах + а - 1 < 0
Решение:
Запишем неравенство в виде (х — (а — 1))(х - 1) < О и изобразим точки, координаты которых удовлетворяют ему по плоскости хОа.
При фиксированном а0 решения — это абсциссы точек прямой а = а0, попавшие в заштрихованную область.
Ответ:
при
при а = 2 => 0; при
Задание 95.
ах2 - (а + 4)х + 4 > 0
Указание:
Ответ:
при
при
при
при
Задание 96.
Ответ:
При
при
Задание 97.
Решение:
Приведем неравенство к виду
и заштрихуем на плоскости хОа множество точек, координаты которых ему удовлетворяют.
Ответ:
при
при
при
Задание 98.
Решение:
На плоскости Оха изобразим множество точек, удовлетворяющих неравенствам: ах > -2, ах < х + 3
Для нахождения ординаты точки А приравняем правые части уравнений
и
Получаем
Ответ:
при
при
при
при
Задание 99.
Ответ:
При
при
при
при
Задание 100.
Ответ:
При
при
при
при
при
при
Задание 101.
|х + За - 6| < |3х - 2 + 7а|
Решение:
Так как
то
На плоскости Оха отметим штриховкой множество точек, удовлетворяющих последнему
неравенству.
Ответ:
при
при
Задание 102.
Решение:
На плоскости изобразим Оха
множество точек, удовлетворяющих данному неравенству.
Ответ:
npи
при
при
при
Задание 103.
Ответ:
При
при
при
при
Задание 104.
||х - 2| > 2а|x|
Решение:
Здесь требуется найти те значения переменной х, при которых график функции у = ||х| - 2| лежит выше графика у = 2а\х\. Первый график не зависит от параметра, а второй меняется при изменении а.
Рассмотрим различные случаи:
1) а < 0 (рис. а). Условию удовлетворяют все
2) а = 0 (рис. б). Условию задачи удовлетворяют
3)
(рис. в).
Найдем координаты точек пересечения графиков:
Условию удовлетворяют
4)
(рис. г).
Условию удовлетворяют
Ответ:
при
при
при
при
Задание 105.
При каких а фигура, задаваемая неравенствами
имеет наибольшую площадь? Найдите эту площадь.
Решение:
На плоскости хОу изобразим множество точек, удовлетворяющих данной системе неравенств.
В первом случае соответствующие области не имеют общих точек, а во втором общие точки лежат внутри заштрихованного квадрата. Второй случай имеет место, если
Диагональ заштрихованного квадрата равна 6а - 2а2, т. е. его площадь
Наибольшее значение функции S(a) на [0; 3] достигается при
так как при
— наибольшее. Теперь находим
Ответ:
Задание 106.
При каких а фигура, задаваемая неравенствами
имеет наименьшую площадь? Найдите эту площадь.
Ответ:
Задание 107.
Из города А в город В, находящийся в 240 км от А, со скоростью 40 км/ч выходит автобус. Одновременно с ним из Б в A с постоянной скоростью v (км/ч) выезжает автомобиль. Через полчаса после встречи автомобиль, не доезжая до города А, поворачивает обратно и с прежней скоростью движется по направлению к В. Найдите все те значения и, при которых автомобиль приходит в В раньше, чем автобус.
Решение:
Время, которое автомобиль и автобус затратили до их встречи, составляет
Автобус доезжает до В за 6 ч, а автомобиль находился в пути
Получаем
Известно, что через полчаса после встречи автомобиль еще не доехал до А. Расстояние,
которое автобус проехал до встречи, равно
Это расстояние больше, чем
откуда
Ответ:
(56; 120)
Задание 108.
От пристани А к пристани В, находящейся от А на расстоянии 12 км, вниз по течению отходит моторная лодка, скорость которой в стоячей воде равна 6 км/ч. Одновременно с ней из Б в А выходит катер, скорость которого в стоячей воде равна 10 км/ч. После встречи они разворачиваются и возвращаются на свои пристани. Определите все значения v, при которых моторная лодка приходит в А не раньше, чем через 1 ч после возвращения катера в Б, если v — скорость течения.
Ответ:
(2; 6)
Задание 109.
Некоторое предприятие приносит убытки, составляющие 31 тыс. р. в год. Для превращения его в рентабельное было предложено увеличить ассортимент продукции. Подсчеты показали, что дополнительные доходы, приходящиеся на каждый новый вид продукции, составят 25 тыс. р. в год, а дополнительные расходы окажутся равными 5 тыс. р. в год при освоении одного нового вида, но освоение каждого последующего потребует на 10 тыс. р. в год больше расходов, чем освоение предыдущего. Можно ли указанным способом сделать предприятие рентабельным?
Ответ:
Нет