Квадратное уравнение.
График квадратного трехчлена
• Уравнение вида
называется квадратным уравнением. Число D = b2 - 4ac — дискриминант
этого уравнения.
Если
то числа
являются корнями (или решениями) квадратного уравнения. Если D = 0, то корни
совпадают:
Если D < 0, то квадратное уравнение корней не имеет.
Справедливы формулы:
— формулы Виета; а
ах2 + bх + с = а(х - х1)(х - х2) —
формула разложения на множители.
Графиком квадратичной функции (квадратного трехчлена) у = ах2 + bх + с является парабола. Расположение параболы в зависимости от знаков коэффициента а и дискриминанта D приведено на рис.
Числа х1 и х2 на оси абсцисс — корни квадратного уравнения ах2 + bх + + с = 0; координаты вершины параболы (точки А) во всех случаях
точка пересечения параболы с осью ординат имеет координаты (0; с).
Подобно прямой и окружности парабола разбивает плоскость на две части. В одной из этих частей координаты всех точек удовлетворяют неравенству у > ах2 + bх + с, а в другой — противоположному. Знак неравенства в выбранной части плоскости определяем, найдя его в какой-либо точке этой части плоскости.
Рассмотрим понятие касательной к параболе (или окружности). Прямую у - kx + 1 назовем касательной к параболе (или окружности), если она имеет с этой кривой одну общую точку.
В точке касания М(х; у) для параболы выполняется равенство kx +1 = ах2 + bх + с (для окружности — равенство (х - х0)2 + (kx + 1 - у0)2 - R2). Приравнивая дискриминант полученного квадратного уравнения нулю (так как уравнение должно иметь единственное решение), приходим к условиям для вычисления коэффициентов касательной.
Решите следующие квадратные и сводящиеся к квадратным после простых преобразований уравнения (1—19):
Задание 1.
х2 - 6х + 8 = 0
Ответ:
{2; 4}
Задание 2.
6х2 - 1х + 1 = 0
Ответ:
Задание 3.
5х2 - 1 = 0
Ответ:
Задание 4.
Зх - 2х2 = 0
Ответ:
Задание 5.
х2 + 6x - 10 = 0
Ответ:
Задание 6.
-х2 + 5х - 7 = 0
Ответ:
Задание 7.
Ответ:
Задание 8.
Ответ:
Задание 9.
Ответ:
{4; 5}
Задание 10.
Указание:
х = 2 не входит в ОДЗ уравнения.
Ответ:
3
Задание 11.
Указание:
х = +6 не входит в ОДЗ уравнения.
Ответ:
Задание 12.
Ответ:
1
Задание 13.
Ответ:
{-5; 1}
Задание 14.
Ответ:
{-2; -1}
Задание 15.
Ответ:
2
Задание 16.
Ответ:
Задание 17.
Ответ:
{-4; 9}
Задание 18.
(х + З)3 - (х + 1)3 = 56
Ответ:
{-5; 1}
Задание 19.
(х - 2)3 - (х - З)3 = 19
Ответ:
{0; 5}
Решите уравнения 20—40, сводящиеся к квадратным после подходящей замены:
Задание 20.
(х2 + х - 1)(х2 + х + 2) = 4
Решение:
Выполнив замену
х2 + х = у,
сводим данное уравнение к квадратному
у2 + у - 6 = 0,
откуда у1 = -3; у2 = 2.
Теперь остается решить уравнения
х2 + х + 3 = 0, х2 + х - 2 = 0.
Первое из них решений не имеет. Решения второго — числа
х = -2; х = 1
Ответ:
{-2; 1}
Задание 21.
(х2 + 3х+ 1)(х2 + 3х-3) = 5
Ответ:
{-4;-2;-1; 1}
Задание 22.
х(х - 1)(х - 2)(х - 3) = 15
Указание:
Сначала перемножьте скобки (х - 3) и (х - 1)(х - 2), затем сделайте замену, полагая х2 - Зх = у.
Ответ:
Задание 23.
Ответ:
Задание 24.
2(х2 + х +1)2 - 7(х - 1)2 = 13(х3 - 1)
Решение:
Так как х3 - 1 = (x2 + x + 1) (x - 1), a
ни при каком х, то, разделив обе части данного уравнения на
(х2 + х + 1)2
и полагая
приходим к уравнению
7у2 + 13у -2 = 0,
откуда
Теперь, решив уравнения
получим ответ.
Ответ:
Задание 25.
(х + З)2 + 7(х2 - 9) + 6(х - З)2 = 0
Ответ:
Задание 26.
(х - 2)2(х + 1)2 - (х - 2)(х2 - 1) - 2(х - 1)2 = 0
Решение:
Число х = 1 не является решением данного уравнения. Поэтому, поделив обе его части на (х - 1)2, приходим к равносильному уравнению
откуда
равен либо 2, либо (-1). Решая полученные квадратные уравнения, находим их корни.
Ответ:
Задание 27.
Ответ:
Задание 28.
Решение:
Запишем уравнение в виде
т. е.
Отсюда либо
либо
х2 + 5х - 6 = х2 - 5х + 6
т. е.
Ответ:
Задание 29.
Указание:
Упростите каждую дробь, разделив числитель на знаменатель.
Ответ:
Задание 30.
Ответ:
Задание 31.
(х2- 6х)2-2(х - 3)2 = 81
Указание:
Воспользуйтесь тем, что х2 - 6х = (х - З)2 - 9, и положите у = (х - З)2.
Ответ:
Задание 32.
(х2 + 2х)2 - (х + 1)2 = 55
Ответ:
{-4, 2}
Задание 33.
Указание:
Положите
Ответ:
Задание 34.
Указание:
Положите
Ответ:
Задание 35.
Решение:
Поделив числитель и знаменатель каждой из дробей на х и обозначив
приходим к уравнению
откуда у = 7 или у = 14. Теперь решаем уравнения
Первое уравнение решений не имеет, а второе дает
Ответ:
Задание 36.
Ответ:
Задание 37.
(х2 -6x- 9)2 = x(x2 - 4x- 9)
Указание:
Сделайте замену
предварительно вынеся за скобки нужные множители.
Ответ:
Задание 38.
х(х2 + 1) - 2(х2 -х + 1)2
Решение:
Перепишем уравнение в виде
Так как х = 0 не является решением исходного уравнения, то, сокращая на х2
и обозначая
приходим к уравнению 2у2 = у + 1
Отсюда у = 1 и
Теперь решаем уравнения
и получаем единственное решение х = 1.
Ответ:
{1}
Задание 39.
Указание:
См. решение задания 40.
Ответ:
Задание 40.
Решение:
Запишем уравнение в виде
т. е.
Положив
получаем квадратное уравнение
у2 - 4у - 12
= 0
Отсюда у = 6 или у= - 2. Теперь решаем уравнения
и
Первое из них решений не имеет, а второе дает
Ответ:
Задание 41.
Осенью закупили картофель на сумму 810 р. Весной 1 кг картофеля стал стоить на 1 р. дороже, чем осенью. Поэтому на ту же сумму весной было куплено на 27 кг картофеля меньше. Сколько стоил 1 кг картофеля весной?
Ответ:
6 р.
Задание 42.
Зарплата служащего до повышения составляла 700 р. Она повышалась дважды, причем процент повышения зарплаты во второй раз был вдвое больше, чем в первый. На сколько процентов была повышена зарплата в первый раз, если после двух повышений она составила 924р.?
Ответ:
На 10 %
Задание 43.
В результате переоборудования производительность завода за первый год возросла на m% , а за второй — на 5% больше, чем за первый. В результате за два года производительность завода увеличилась на 38%. На сколько процентов увеличилась производительность за первый год?
Ответ:
На 15 %
Задание 44.
Один из корней уравнения 5х2 - ах + 12 = 0 на 1,4 больше другого. Найдите значения коэффициента а.
Указание:
Воспользуйтесь теоремой Виета.
Ответ:
Задание 45.
Один из корней квадратного уравнения 2х2 - 14х + с = 0 в 2,5 раза больше другого. Найдите коэффициент с.
Ответ:
{20}
Задание 46.
Один из корней квадратного уравнения х2 -- (а + 6)х + а2 = 0 равен 2. Найдите а.
Ответ:
{- 2; 4}
Задание 47.
Найдите значения коэффициента а, при которых корни уравнения (2а - 5)х2 - 2(а - 1)х + 3 = 0 равны между собой.
Ответ:
{4}
Задание 48.
Пусть x1 и х2 корни уравнения х2 + ах + 4 = 0. Не вычисляя x1 и x2, найдите значения следующих выражений:
a) x1х2
б) (x1 + 1)(х2 + 1)
в) x12 + x22
г)
д) x13 + x23
Решение д):
Согласно теореме Виета получаем
x1 + х2 = -а, x1х2 = 4. Тогда
x13 + х23 = (x1 + х2)[(x1 + х2)2 - 3x1х2] = -а(а2 - 12) = 12а - а3
Ответ:
а) 4
б) 5 - а
в) а2 - 8
г)
Задание 49.
Квадратное уравнение х2 + Зх - 5 = 0 имеет корни x1 и x2. Составьте квадратное уравнение, имеющее следующие корни:
а) 2х1 и 2х2
б) - х1 и - х2
в) х1 + х2 и x1x2
г) x12 и x22
Решение г).
Имеем x1 + x2 = -3, x1x2 = -5. Тогда
x12 + x22 = (x1 + x2)2 -2x1x2 = 19
x12 x22 = (-5)2 = 25
Поэтому, применяя теорему Виета, записываем уравнение, имеющее корни x12 и x22 , и получаем
х2 - 19х + 25 = 0
Ответ:
а) х2 + 6х - 20 = 0
б) х2 - Зх - 5 = 0
в) х2 + 8х +
15 = 0
Задание 50.
Найдите все значения а, при которых сумма корней квадратного уравнения х2 - 2а(х - 1) - 1 = 0 равна сумме квадратов его корней.
Ответ:
Задание 51.
При каких значениях а разность корней уравнения
2х2 - (а + 1)х + а - 1 =0
равна их произведению?
Решение:
Корни данного уравнения — это числа x1 = 1,
Условию задачи удовлетворяет только разность (x1 - x2).
Получаем
откуда а = 2.
Ответ:
2
Задание 52.
При каких значениях а уравнения
х2 + ах+1 = 0 и х2 + х + а = 0
имеют общий корень?
Решение:
Для переменных х и а должны одновременно выполняться равенства
откуда, вычитая из первого уравнения второе, получаем
ах - х +1 - а = (а - 1)(х - 1) = 0
Если а = 1, то уравнения совпадают, но не имеют решений. Если же х = 1, то, подставляя это значение в любое уравнение, находим а = -2.
Ответ:
-2
Постройте графики заданных функций. На координатной плоскости отметьте штриховкой множество точек, координаты которых удовлетворяют указанным неравенствам (53—64):
Задание 53.
у = х2, у = (х - З)2, у = - х2 + 6х - 9
Ответ:
Задание 54.
Ответ:
Задание 55.
Ответ:
Задание 56.
у = х2 - 5х + 4, у < х2 - 5х + 4
Ответ:
Задание 57.
Ответ:
Задание 58.
Ответ:
Задание 59.
Ответ:
Задание 60.
Ответ:
Задание 61.
Ответ:
Задание 62.
Ответ:
Задание 63.
Ответ:
Задание 64.
Ответ:
Задание 65.
Фигура Ф состоит из точек М(х; у) таких, что неравенство
выполняется при всех значениях параметра t. Постройте фигуру Ф и найдите ее площадь.
Ответ:
Решение:
Из условия следует: дискриминант квадратного трехчлена (относительно переменной t)
z = t2 + 2tx + 4t - у2
не положителен. Получаем:
т. е.
Значит, множество Ф — это круг радиуса 2 с центром в точке А (2, 0)
Его площадь
Задание 66.
Фигура Ф состоит из точек М(х; у) таких, что неравенство
выполняется для всех значений параметра t. Постройте фигуру Ф и найдите длину отрезка оси абсцисс, лежащего внутри фигуры Ф.
Указание:
См. решение задания 65.
Ответ:
При решении задач 67—70 существенно помогает штриховка в плоскости (х; а) областей, задаваемых неравенствами, входящими в условия этих задач.
Задание 67.
Найдите все значения а, при которых система неравенств
имеет единственное решение.
Решение:
В плоскости (х, у) отметим штриховкой множество точек, удовлетворяющих указанным неравенствам. Мы видим, что параболы а = -х2 - 2х и
пересекаются только в точках
Поэтому заштрихованная область пересекается с прямой а = const в одной точке только при а = 0 и а = 1.
Ответ:
{0; 1}
Задание 68.
При каких значениях а система
имеет единственное решение?
Решение:
В плоскости (х, у) отметим штриховкой множество точек, удовлетворяющих неравенству (у + х)(у + х - 2) < 0
Очевидно, что если а = 0, то система имеет бесконечно много решений: (х; -1), где
Если же а #0, то система имеет единственное решение только в том случае, если прямая у = 2 - х служит касательной к параболе
у = ах2 + 2ах - 1 при а > 0,
либо прямая у = -х служит касательной к той же параболе, но при а < 0. Рассмотрим эти случаи. Прямая у = 2 - х — касательная к параболе
у = ах2 + 2ах - 1
в том и только том случае, если уравнение
ах2 + 2ах - 1 = 2 - х
имеет единственное решение. Имеем
ах2 + 2(а +1)х — 3 = 0; D = (2а + 1)2 + 12а = 4а2 + 16а + 1
Приравнивая дискриминант нулю, получаем решения
Но оба эти значения отрицательны и, следовательно, не подходят. Теперь ищем значения а < 0, при которых прямая у = - х касается параболы
у = ах2 + 2ах - 1
Проведя вычисления, получаем
Ответ:
Задание 69.
Решите систему неравенств
Указание:
См. решение задания 70.
Ответ:
При
при
Задание 70.
Решите систему неравенств
Решение:
В плоскости (х; а) отметим штриховкой область, где выполнены оба неравенства
На прямой 2х + а + 6 = 0 имеем
На параболе а = -(х2 + 4х + 3) получаем,
задает левую (относительно оси симметрии х = -2) половину параболы, а
— ее правую половину.
Ответ:
При
при
при
Решение задач 71—92 облегчает построение графиков входящих в условия задач квадратных трехчленов при различных значениях параметров.
Задание 71.
При каких а неравенство (а + 4)х2 - 2ах + а - 6 < 0 выполнено для всех
Указание:
Здесь должны выполняться неравенства
а + 4 < 0 и D <0.
Ответ:
Задание 72.
При каких а неравенство
выполнено для всех
Решение:
Так как х2 - Зх + 4 > 0 при всех х € R, то исходное неравенство равносильно неравенству
2х2 - (а + 3)х + 2 > 0
Последнее справедливо при всех
в двух случаях: либо D = (а + З)2 - 16 < 0, т. е. а € (-7; 1) — в этом случае неравенство справедливо вообще для всех х е R
либо при D > 0 оба корня должны быть отрицательными. Положим у = 2х2 - (а + 3)х + 2. Тогда сформулированное условие равносильно выполнению системы
т. е.
Следовательно,
Объединяя два рассмотренных случая, получаем, что a < 1.
Ответ:
Задание 73.
При каких а неравенство
(х - За) (х - а - 3) < 0
выполнено для всех
Указание:
См. решение задания 74.
Ответ:
Задание 74.
При каких а неравенство
выполнено для всех
Решение:
В плоскости (х; а) отметим штриховкой нужную область
Любое
лежит в заштрихованной области при a1< а < а2, где a1 — корень уравнения 4а + 3 = 2, т. е.
а а2 — корень уравнения 2а - 2 = 1, т. е.
Ответ:
Задание 75.
При каких а число 3 заключено между корнями уравнения
х2 - 2ах + а2 - 1 = 0?
Указание:
Пусть у2 = х2 - 2ах + а2 - 1
Тогда условие задачи равносильно выполнению неравенства D > 0, у(3) < 0.
Ответ:
Задание 76.
При каких а оба корня уравнения
х2 - 6ах + 9а2 - 2а + 2 = 0
больше 3?
Решение:
Положим у - х2 - 6ах + 9а2 - 2а + 2, хB = За — абсцисса вершины этой параболы
Тогда условие задачи равносильно выполнению неравенств
хB = За >
3, у(3) = 9 - 18а + 9а2 - 2а + 2 = 9а2 - 20а + 11 >
0, D = 2а - 2 > 0.
Решая эту систему, получаем
Ответ:
Задание 77.
При каких а корни уравнения
х2 - (а - 1)х + 2а --1 = 0
имеют разные знаки и оба принадлежат отрезку [- 2; 2]?
Указание:
См. решение задания 78.
Ответ:
Задание 78.
При каких а корни уравнения
х2 - 2(а - 1)х + 2а + + 1 = 0
имеют разные знаки и оба по модулю меньше 4?
Решение:
Рассмотрим функцию
у = х2 - 2(а - 1)х + 2а + 1
Тогда условие задачи равносильно выполнению неравенств
откуда получаем, что
Ответ:
Задание 79.
При каких а среди решений неравенства
х2 - 37х < а
нет ни одного целочисленного решения?
Ответ:
Задание 80.
При каких а неравенство
18х > х2 + а
не имеет ни одного четного целочисленного решения?
Указание:
Рассмотрите график функции у = х2 -- 18х + а при различных а.
Ответ:
Задание 81.
При каких а наибольшее значение функции
у = -х2 + 2ах - 71
на
равно 10?
Указание:
См. решение задания 82.
Ответ:
{-15; 9}.
Задание 82.
При каких а наименьшее значение функции
у = х2 - 2ах + 43
на
равно 7?
Решение:
Рассмотрим два возможных варианта
расположения вершины параболы:
1) хB - а < -2. Тогда наименьшее значение функции
у = х2 - 2ах + 43 достигается в точке х = -2. Имеем у(-2) = 4а + 47 = 7, откуда а = -10;
2)
Тогда наименьшее значение функции у = х2 - 2ах + 43 на
достигается при х = а. Имеем у(а) = 43 - а2 = 7, откуда а = 6.
Ответ:
{-10; 6}.
Задание 83.
При каких а наибольшее значение функции
у = х2 - Зах + а2
на [-1; 3] равно 5?
Указание:
См. решение задания 84.
Ответ:
Задание 84.
При каких а наименьшее значение
функции
у = -х2 +4ах + 5а2
на [-3; 1] равно 8?
Решение:
Если абсцисса вершины параболы
у = -х2 + 4ах + + 5а2, т. е. хB = 2а, удовлетворяет
условию 2а < -1, то наименьшее значение функции у = -х2 + 4ах
+ 5а2 на [-3; 1] достигается при х = 1.
Тогда у(1) = -1 + 4а + 5а2 = 8, откуда а
Если же
то наименьшее значение функции у = -х2 + 4ах + 5а2 на
[-3; 1] достигается при х = -3. В этом случае у(-3) = -9 -12а + 5а2=
8, откуда
Ответ:
Задание 85.
Найдите наибольшее значение функции
у = -2х2 - ах + 3
на отрезке [1;2].
Ответ:
при
при
при
Задание 86.
Найдите наименьшее значение функции
у = Зх2 + ах - 5
на отрезке [-1; 3].
Решение:
Рассмотрим три случая.
1) Если
то наименьшее значение функции у = Зх2 + ах — 5 на [—1; 3] равно у(— 1). Значит, при
2) Если же
то наименьшее значение этой функции на [-1; 3] достигается в вершине параболы, т. е. при
и оно равно
Таким образом, при
3) Наконец, если
т. е. а < -18, то наименьшее значение функции у = Зх2 + ах - 5 на [-1; 3] составляет с у(3) = 22 + За.
Ответ:
при
при
при
Задание 87.
Функция
определена на отрезке [5; 7]. Найдите все значения а, при которых наибольшее значение f(x) на [5; 7] не превышает 0,1.
Указание:
См. решение задания 88.
Ответ:
Задание 88.
Функция
определена на отрезке [-7; -4]. При каких значениях а наибольшее значение f(x) на [-7; -4] не превышает 0,5?
Решение:
Построим график функции у = х2 + 6х + а = (х + З)2 + + а - 9 и найдем те значения а, при которых параболы пересекают ось абсцисс в точках х = -4 и х = —1. Получаем а = 8 и а = -7. Далее рассмотрим два случая.
1) Если а < -7, то значения у = х2 + 6х + а на [-7; -4], отрицательны, а тогда для f(х) = у-1(х) выполнено условие задачи.
2) Если же а > 8, то наименьшее значение у = х2 + 6x + а на [-7, -4] равно ,у(-4) = а - 8. Для того чтобы
на [-7; -4], должно выполняться условие
т. е.
Ответ:
Задание 89.
При каких значениях а функция
возрастает на отрезке [а - 5; 5а]?
Указание:
См. решение задания 90.
Ответ:
(5 1 "I -- ; - . Указание. См. решение задачи 90. 4 5 J
Задание 90.
При каких значениях а функция
убывает на отрезке [За; а -f 3]?
Решение:
Для выполнения условий задачи функция
у = х2 + 4х + 20 = (х + 2)2 + 16
должна возрастать на отрезке [За; а + 3]. Значит, этот отрезок должен лежать
Получаем неравенства
Отсюда
Ответ:
Задание 91.
Найдите все а, при которых корни уравнения
х2 + 2х - а2 + 1 = О
лежат между корнями уравнения
х2 + 2(а + 1)х + а(а - 1) = 0.
Решение:
Корни уравнения х2 + 2х - а2 + 1 = 0 — это числа х1 = -1+ а, х2 = -1 - а. Рассмотрим функцию
у = х2 + 2(а + 1)х + а(а + 1)
Для того чтобы выполнялось
требование задачи, необходимо и достаточно выполнения условий
Решаем эти неравенства и получаем а > 1.
Ответ:
Задание 92.
При каких а корни уравнений
х2+ 4х - 5 = 0 и х2+ах + а2-а-9 = 0
образуют арифметическую прогрессию?
Решение:
Корнями уравнения х2
+ 4х - 5 = 0 являются числа х1 = -5; Х2 = 1. Таким образом,
эти числа и корни уравнения х2 + ах + + а2 -а-9 = 0 образуют
арифметическую прогрессию только в том
случае, если корнями второго уравнения служат следующие пары чисел:
1) -17 и -11;
2) -8, -2;
3) -3, -1;
4) -2, 4;
5) 7 и 13.
Подставляя каждое из этих чисел в уравнение, находим допустимые значения а. Решение получается только для третьей пары чисел и только при а = 4.
Ответ:
{4}
Задание 93.
Найдите все а, при которых существуют такие числа х и у, что
х2 + 2у2 + а2 + ху - ах + ау = 3
Указание:
См. решение задания 94.
Ответ:
Задание 94.
Найдите все а, при которых существуют такие числа х и у, что
х2 + 8у2 + 4а2 - 2ху + 2ах + 4aу = 12
Решение:
Запишем уравнение в виде
х2 - 2(у - а)х + 8у2 + + 4а2 + 4ау - 12 =0.
Для того чтобы это квадратное уравнение имело решения при каких-либо у и а,
нужно, чтобы его дискриминант был
неотрицателен. Имеем
т. е.
Последнее неравенство имеет решения только в том случае, если
т. е. 12а2< 84. Отсюда получаем
Ответ:
Задание 95.
При каких значениях параметра а уравнение
х4 + 2ах2 -За -2 = 0
имеет четыре различных корня, причем два из них меньше (-1), а два других меньше
Решение:
Требования задачи будут выполнены, если функция
у = t2 + 2at - За - 2
будет иметь два различных корня, принадлежащих интервалу (1; 2). Для этого должны выполняться следующие условия:
т. е.
у(1) = -а - 1 > 0, т.
е. а < -1;
у(2) = а + 2 > 0, т. е. а > -2;
наконец,
откуда
Объединяя все эти условия, получаем
Ответ:
Задание 96.
При каких а сумма корней уравнения
х2 + 2(а2 - За)х - (6а3 - 14а2 + 4) = 0
принимает наибольшее возможное значение?
Решение:
Для того чтобы уравнение имело корни должно выполняться неравенство
откуда либо
либо
При этих значениях параметра а нужно найти наибольшее значение величины S(a) = 6a - 2a2 - суммы корней этого уравнения. Легко видеть, что это наибольшее значение достигается при a = 1.
Ответ:
{1}