Варианты проверочных работ
Вариант 1
Задание 1.
Площадь прямоугольника равна 81 см2, а величина одного из углов, образованных диагоналями, равна 120°. Найдите стороны прямоугольника.
Задание 2.
Найдите площадь круга, описанного около равнобедренного треугольника, если основание треугольника равно 24 см, а боковая сторона равна 13 см.
Задание 3.
Вычислите площадь прямоугольной трапеции, если ее острый угол равен
меньшее основание равно a, a большая боковая сторона равна b.
Задание 4.
Вычислите площадь правильного двенадцатиугольника, вписанного в окружность радиуса 5 см.
Задание 5.
Через вершины произвольного четырехугольника проведены прямые, параллельные диагоналям. Найдите отношение площади параллелограмма, образованного этими прямыми, к площади данного четырехугольника.
Задание 6.
В прямоугольнике ABCD на сторонах АВ и AD выбраны соответственно точки Е и F так, что АЕ : BE = 3 :1, AF : FD = 1 : 2. Найдите отношение ЕО : OD, где О — точка пересечения отрезков DE и CF.
Задание 7.
Окружность называется вневписанной в треугольник, если она касается одной из сторон и продолжений двух других сторон этого треугольника. Найдите радиус вневписанной окружности для равностороннего треугольника со стороной 3 см.
Задание 8.
Через смежные вершины квадрата проведена окружность так, что касательная, проведенная к ней из третьей вершины квадрата, равна удвоенной стороне квадрата. Найдите радиус этой окружности, если длина стороны квадрата равна
см.
Вариант 2
Задание 1.
Внутри острого угла взята, точка А, растояния от которой до сторон и вершины угла относятся как 2 : 11 : 14. Найдите величину этого угла.
Задание 2.
В 
АВС
прямая, параллельная стороне АВ, пересекает сторону ВС в точке М, а сторону
АС — в точке N. Площадь MCN в
2 раза больше площади трапеции ABMN. Найдите отношение СМ : МB.
Задание 3.
В трапеции ABCD основание ВС = 3 см, АВ = CD = 3 см. Диагонали трапеции пересекаются под углом 60°. Найдите длину основания AD.
Задание 4.
В АВС
известно, что АВ = 40, ВС = 35, < BAC = 60°, BD — биссектриса. Найдите радиус
окружности, вписанной в ADB.
Задание 5.
Окружность радиуса 1 вписана в ААВС, у которого
Эта окружность касается средней линии треугольника, параллельной АС. Найдите длину стороны АС.
Задание 6.
В остроугольном треугольнике
На стороне ВС как на диаметре
построена окружность, пересекающая АС в точке Q, а АВ — в точке Р. Найдите отношение
площадей APQ и АВС.
Задание 7.
В АВС
точка D лежит на стороне АВ, причем
Найдите площадь АВС,
если < АСВ = 120°.
Задание 8.
В параллелограмме ABCD известны
длины сторон АВ = 2, ВС = 4 и диагонали BD = 3. Найдите расстояние между центрами
окружностей, вписанных в ABD и
ВDС.
Вариант 3
Задание 1.
В АВС
< С = 60°, а биссектриса угла С равна
Длины сторон АС и СВ относятся как 5 : 2. Найдите тангенс угла А и длину стороны ВС.
Задание 2.
В прямоугольной трапеции, высота которой равна 4 см, на боковой стороне, не перпендикулярной основанию, как на диаметре построена окружность. Оказалось, что она касается противоположной стороны трапеции. Найдите площадь прямоугольного треугольника, у которого катеты равны основаниям данной трапеции.
Задание 3.
В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей равны 1 м и 2 м. Найдите площадь четырехугольника, если известно, что длины отрезков, соединяющих середины его противоположных сторон, равны.
Задание 4.
Сумма длин боковых сторон и высоты трапеции, описанной около окружности, равна 8 см. Найдите максимально возможное значение площади этой трапеции.
Задание 5.
Окружность касается сторон
АС и ВС АВС в точках А и В соответственно.
На дуге этой окружности, лежащей внутри АBС,
взята точка К так, что расстояние от нее до сторон АС и ВС равно 6 и 24 соответственно.
Найдите расстояние от точки К до стороны АВ.
Задание 6.
Через центр О вписанной
в АВС окружности проведена прямая,
параллельная стороне ВС и пересекающая стороны АВ и АС соответственно в точках
М и N. Периметр AMN равен
а отрезок АО втрое больше
радиуса вписанной в АВС окружности.
Найдите площадь АВС.
Задание 7.
В остроугольном треугольнике ABC биссектриса AD делит пополам отрезок ОН, где О — центр описанной окружности, Н — точка пересечения высот треугольника. Известно, что
Найдите радиус описанной
около АВС окружности.
Задание 8.
Равнобедренный треугольник
АВС (АВ = ВС) вписан в окружность.
Прямая CD, перпендикулярная АВ, пересекает окружность в точке Р. Касательная
к окружности, проходящая через точку Р, пересекает прямую АВ в точке Q. Найдите
длины отрезков РА и PQ, если АС = 5,
